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數學計算題
1.有一個特殊的數列1,-2,3,-4,5,-6.......,請問:①此數列前66項的和是多少?②此數列前111項的和是多少?2.設f(x)=5n-125，若f(1)+f(2)+f(3)+......+f(n)之和為最小，求:(1)n=?(2)最小的和為何?更新:有一數列，其第n項an與項數的關係是an=8n+17,請問:①此數列是否為等差列數?如果是，其公差為何?②此數列的各項除以8所得之餘數為何?
1.有一個特殊的數列1，－2，3，－4，5，－6，......，請問: ①此數列前66項的和是多少? Sol S66=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…+(a65+a66) =(－1)+(－1)+(－1)+…+(－1) =－33 ② 此數列前111項的和是多少? S111=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…+(a109+a110)+a111 =－55+111 =56 2. 設f(n)=5n－125，若f(1)+f(2)+f(3)+......+f(n)之和為最小，求： (1)n=? Sol f(1)+f(2)+f(3)+......+f(n) =Σ(k=1 to n)_f(k) =Σ(k=1 to n)_(5k－125) =5Σ(k=1 to n)_k－Σ(k=1 to n)_125 =5*n(n+1)/2－125n =(5n^2+5n－250n)/2 =(5n^2－245n)/2 =(5/2)(n^2－49n) =(5/2)[n^2－49n+(49/2)^2]－(5/2)*(49/2)^2 =(5/2)(n－49/2)^2+12005/8 和為最小 n=24or n=25 (2)最小的和為何? 最小的和=(5/2)*(1/4)+12005/8=6005/4
1.在小心觀察數列的規律之後，可以發現第1項+第2項=第3項+第4項=第5項+第六項......=-1所以①此數列前66項的和是多少?因為每兩項加起來都是-1，66項加起來就有33個-1，所以和為-33②此數列前111項的和是多少?因為加到第110項共有55組共55個-1，第111項為111，所以和為(-55)+111=562.先找出規則f(1)=-120f(2)=-115f(3)=-110..........可以發現隨著n變大，數字也跟著變大(從通式F(x)=5n-125也可以直接發現)，也就是說此數列一直加下去，某一項開始就會變成正的和的變化:越來越小(因為一直加負數)→越來越大(開始變成加正數)所以要求加起來和最少，就要找到從哪一項開始數字變成正的(或整為零)列式:5n-125>0(假設第n項開始大於等於零@@我打不出那個符號)移項後得n>25所以在加到n之前和最小(1)n=24或25(因為第25項為零不影響和的大小)(2).f(1)+f(2)+......+F(24)=-15002012-02-2919:54:43補充：遇到數列，通常會建議從規則開始找起a1=25a2=33a3=41a4=49.....(如果不相信自己找出的數列可以繼續寫下去)從列出來的數字中可以發現數列後項跟前項的差為8，是為等差數列，公差為8①此數列是否為等差列數?是的如果是，其公差為何?8a1÷8=25÷8=3...1a2÷8=33÷8=4...1a3÷8=41÷8=5...1...............大概找三個左右便可以確定所得餘數為1，可以找a4幫忙做確認(a4÷8=49÷8=6...1)②此數列的各項除以8所得之餘數為何?1
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